Ratio and Proportion in Hindi: अनुपात, समानुपात और साझा (Partnership)

Quick Answer: Ratio and Proportion in Hindi: अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion) में दो या ज्यादा राशियों की तुलना भाग से करते हैं, और साझा (Partnership) में लाभ बांटते हैं। अनुपात a : b एक ही unit वाली दो राशियों का भागफल है, और दो बराबर अनुपात समानुपात (a : b :: c : d) बनाते हैं। साझेदारी में लाभ पूंजी और समय के गुणनफल (C * T) के अनुपात में बंटता है। RAS Pre 2016 (Q112) और RAS Pre 2024 (Q91) में दूध-पानी मिश्रण के अनुपात वाले सवाल आए थे।

अनुपात के मूल गुणधर्म और अनुपातों को जोड़ना (Combining Ratios)

अनुपात (Ratio) एक ही तरह की दो राशियों की भाग से तुलना है। अगर a और b एक ही unit में हों (और b ≠ 0), तो a:b = a/b लिखते हैं। पहले पद 'a' को पूर्वपद (Antecedent) और दूसरे पद 'b' को उत्तरपद (Consequent) कहते हैं। अनुपात का कोई मात्रक नहीं होता क्योंकि यह दो समान राशियों का भागफल है।

अनुपात के मुख्य गुणधर्म:

• मान नहीं बदलता: अनुपात के दोनों पदों को किसी अशून्य संख्या से गुणा या भाग करने पर मान नहीं बदलता (a:b = ka:kb)।
• सरल रूप: जब पूर्वपद और उत्तरपद का HCF 1 हो, तब अनुपात सरलतम रूप में होता है।
• मिश्र अनुपात: a:b और c:d का मिश्र अनुपात (a*c):(b*d) होता है।
• व्युत्क्रम अनुपात: a:b का विलोमानुपात b:a होता है। तीन पदों a:b:c का विलोमानुपात (1/a):(1/b):(1/c) होता है।
• वर्गानुपात व घनानुपात: अनुपात a:b का वर्गानुपात a²:b² और घनानुपात a³:b³ होता है। वर्गमूलानुपात √a:√b होता है।

अनुपातों को आपस में जोड़ना (Combining Ratios: A:B:C)

यदि A:B = m:n और B:C = p:q दिया हो, तो उभयनिष्ठ पद B को बराबर करते हैं:

A:B:C = (m*p):(n*p):(n*q)

चार पद A:B, B:C और C:D हों, तो इसी तरह हर बार साझा पद (पहले B, फिर C) को LCM से बराबर करते जाएं। उदाहरण 1 देखें।

समानुपात के बुनियादी नियम (Rules of Proportion)

जब दो अनुपात आपस में बराबर हों, तो चारों राशियां समानुपात (In Proportion) में कहलाती हैं। इसे a:b = c:d या a:b::c:d लिखते हैं। इसमें a और d चरम पद (Extremes) व b और c मध्य पद (Means) कहलाते हैं।

समानुपात का नियम: चरम पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल

a*d = b*c

विभिन्न समानुपाती पदों के सूत्र

• चतुर्थानुपाती: यदि a:b::c:x हो, तो x = (b*c)/a।
• तृतीयानुपाती: यदि a:b::b:x सतत समानुपात में हों, तो x = b²/a।
• मध्यानुपाती: यदि a और b के बीच मध्यानुपाती x हो (a:x::x:b), तो x = √(a*b)।

समानुपात के बीजगणितीय नियम

यदि a/b = c/d हो, तो ये नियम लागू होते हैं:

• एकांतरानुपात: a/c = b/d
• व्युत्क्रमानुपात: b/a = d/c
• योगानुपात: (a+b)/b = (c+d)/d
• अंतरानुपात: (a-b)/b = (c-d)/d
• योगानुपात-अंतरानुपात (Componendo & Dividendo): (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) (जब a ≠ b)

साझेदारी (Partnership) के नियम और लाभ विभाजन

जब दो या ज्यादा लोग मिलकर पैसा लगाते हैं और व्यापार चलाते हैं, तो इसे साझेदारी कहते हैं। लघु उद्योग और हस्तशिल्प (Small Industries & Handicrafts) वाली कई छोटी units ऐसी ही साझेदारी में चलती हैं। राज्य के उद्योगों की बड़ी तस्वीर के लिए राजस्थान की अर्थव्यवस्था (Economy of Rajasthan) पढ़ें।

अगर सवाल में कोई अलग शर्त न हो, तो लाभ पूंजी (Capital) और समय (Time) के गुणनफल के अनुपात में बंटता है:

1. सरल साझा (Simple Partnership)

समान समय में लाभ सीधे निवेशित पूंजी के अनुपात में बंटता है: लाभ अनुपात = C₁:C₂:C₃।

2. मिश्रित साझा (Compound Partnership)

अलग-अलग समय में लाभ पूंजी और समय के गुणनफल में बंटता है: लाभ अनुपात = (C₁*T₁):(C₂*T₂):(C₃*T₃)।

अगर कोई साझीदार बीच में पूंजी बदले, तो हर अवधि के लिए (पूंजी * महीने) निकालकर जोड़ दें। यही उसकी कुल प्रभावी पूंजी है।

3. सक्रिय साझीदार (Working Partner)

सक्रिय साझीदार को काम संभालने के बदले तय वेतन या कमीशन पहले मिलता है (जैसा सवाल में दिया हो)। इसके बाद बचा लाभ सभी साझीदारों में पूंजी-समय के अनुपात में बंटता है।

सिक्कों, आय-व्यय और मिश्रण आधारित प्रश्नों की आसान तकनीकें

अनुपात के सवाल ज्यादातर इन तीन तरह के होते हैं (मिश्रण वाला type RAS Pre 2016 और 2024 दोनों में आया):

1. थैले में सिक्कों पर आधारित प्रश्न

सिक्कों की संख्या को अनुपात से k मानकर लिखें (जैसे 5k, 6k, 8k), फिर हर सिक्के को रुपये में बदलें (50 पैसे = 0.50 रु, 25 पैसे = 0.25 रु)। संख्या को रुपये मूल्य से गुणा कर कुल धन के बराबर रखकर k का मान निकाला जाता है।

2. आय, व्यय और बचत संबंधी प्रश्न

मूल नियम: आय = व्यय + बचत (Income = Expenditure + Savings)।

वज्र गुणन ट्रिक: आय ax और bx, व्यय cy और dy, बचत S₁ और S₂ हो, तो आय की 1 यूनिट x = (d*S₁ - c*S₂) / (a*d - b*c)। (यह ax - cy = S₁ और bx - dy = S₂ को हल करने से आता है।)

3. मिश्रण में अनुपातिक फेरबदल

जब केवल एक अवयव (जैसे पानी) मिलाया जाए, तो दूसरे अवयव (जैसे दूध) की मात्रा स्थिर रहती है। स्थिर अवयव के अनुपाती भाग को दोनों स्थितियों में बराबर करके सवाल तुरंत हल हो जाता है।

अनुपात व साझेदारी सूत्र सारांश सारणी (Summary Tables)

जल्दी revision के लिए दो मुख्य table नीचे हैं:

Table 1: अनुपात और समानुपात के प्रमुख सूत्र (Core Formulas)

Table 2: साझेदारी (Partnership) के नियम और लाभ विभाजन विधियां

हल उदाहरण (Solved Examples for Practice)

नीचे 10 हल उदाहरण हैं, आसान से RAS स्तर तक:

उदाहरण 1: चार अनुपातों का संयुक्त संयोजन (A:B:C:D)

प्रश्न: A:B = 3:4, B:C = 8:9, C:D = 15:16 हो, तो ₹32,600 को A, B, C, D में बांटिए।

हल: B को बराबर करें: A:B = 3:4 = 6:8, तो A:B:C = 6:8:9। अब C को बराबर करें: LCM(9,15) = 45, तो A:B:C = 30:40:45 और C:D = 45:48। A:B:C:D = 30:40:45:48। कुल 163 यूनिट = ₹32,600 ⇒ 1 यूनिट = ₹200। A = ₹6,000, B = ₹8,000, C = ₹9,000, D = ₹9,600। जांच: योग = ₹32,600।

उदाहरण 2: मध्यानुपाती, तृतीयानुपाती और चतुर्थानुपाती

प्रश्न: 16 व 36 का मध्यानुपाती, 12 व 18 का तृतीयानुपाती, व 8, 14 व 16 का चतुर्थानुपाती निकालें।

हल: मध्यानुपाती = √(16*36) = 24। तृतीयानुपाती = 18²/12 = 27। चतुर्थानुपाती = (14*16)/8 = 28। जांच: 8/14 = 16/28 = 4/7।

उदाहरण 3: आयु संबंधी अनुपातिक प्रश्न

प्रश्न: पिता और पुत्र की वर्तमान आयु 7:3 है। 10 वर्ष पूर्व अनुपात 3:1 था। 5 वर्ष बाद अनुपात क्या होगा?

हल: (7k-10)/(3k-10) = 3/1 ⇒ 2k = 20 ⇒ k = 10। वर्तमान आयु 70 व 30 वर्ष। 5 वर्ष बाद 75 व 35 वर्ष। नया अनुपात = 75:35 = 15:7।

उदाहरण 4: थैले में सिक्कों की संख्या व मूल्य

प्रश्न: थैले में 1 रु, 50 पैसे, 25 पैसे के सिक्के 5:6:8 में हैं। कुल धन ₹420 हो, तो सिक्के बताइए।

हल: मूल्य = 5k*1 + 6k*0.5 + 8k*0.25 = 5k + 3k + 2k = 10k = 420 ⇒ k = 42। 1 रु = 210, 50 पैसे = 252, 25 पैसे = 336। कुल सिक्के = 798। जांच: 210+126+84 = ₹420।

उदाहरण 5: आय, व्यय और बचत

प्रश्न: A और B की आय 5:4 और व्यय 3:2 है। प्रत्येक ₹6,000 बचाता है, तो दोनों की आय क्या है?

हल: (5x-6000)/(4x-6000) = 3/2 ⇒ 10x - 12000 = 12x - 18000 ⇒ 2x = 6000 ⇒ x = 3000। A = ₹15,000, B = ₹12,000। वज्र गुणन ट्रिक: x = (2*6000 - 3*6000)/(5*2 - 4*3) = (-6000)/(-2) = 3000। जांच: व्यय 9,000 और 6,000 = 3:2।

उदाहरण 6: सरल साझेदारी (Simple Partnership)

प्रश्न: P, Q और R ने ₹45,000, ₹60,000, ₹75,000 लगाए। ₹72,000 लाभ में प्रत्येक का हिस्सा बताइए।

हल: लाभ अनुपात = 3:4:5। कुल 12 यूनिट = ₹72,000 ⇒ 1 यूनिट = ₹6,000। P = ₹18,000, Q = ₹24,000, R = ₹30,000। जांच: योग = ₹72,000।

उदाहरण 7: पूंजी में बदलाव वाली मिश्रित साझेदारी

प्रश्न: A ने ₹50,000 और B ने ₹70,000 लगाकर व्यापार शुरू किया। 6 माह बाद A ने ₹10,000 और जोड़े, B ने ₹10,000 निकाले। साल के अंत में ₹72,000 लाभ हुआ। दोनों का हिस्सा बताएं।

हल: A पूंजी = 50,000*6 + 60,000*6 = ₹6,60,000। B पूंजी = 70,000*6 + 60,000*6 = ₹7,80,000। अनुपात A:B = 11:13। कुल 24 यूनिट = ₹72,000 ⇒ 1 यूनिट = ₹3,000। A = ₹33,000, B = ₹39,000।

उदाहरण 8: सक्रिय साझीदार का वेतन और लाभ बंटवारा

प्रश्न: A और B ने पूरे साल के लिए ₹40,000 और ₹60,000 लगाए। काम A संभालता है, इसलिए कुल लाभ का 20% उसे वेतन के रूप में पहले मिलता है, बाकी लाभ पूंजी अनुपात में बंटता है। ₹50,000 लाभ में दोनों को कुल कितना मिलेगा?

हल: A वेतन = 50,000 का 20% = ₹10,000। शेष लाभ = ₹40,000। पूंजी अनुपात A:B = 2:3 से A = ₹16,000, B = ₹24,000। A को कुल = ₹26,000; B को = ₹24,000। जांच: 26,000 + 24,000 = ₹50,000।

उदाहरण 9: मिश्रण में अनुपातिक बदलाव

प्रश्न: एक डेयरी के 45 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 4:1 में है। कितना पानी और मिलाएं कि अनुपात 3:2 हो जाए?

हल: दूध = 45 का 4/5 = 36 लीटर, पानी = 9 लीटर। केवल पानी मिलाया, तो दूध 36 लीटर ही रहेगा। 36/(9+w) = 3/2 ⇒ 9+w = 24 ⇒ w = 15 लीटर पानी मिलाना होगा। जांच: 36:24 = 3:2।

उदाहरण 10: गोदाम का साझा किराया (अलग-अलग समय)

प्रश्न: तीन व्यापारियों A, B, C ने एक गोदाम ₹18,900 किराये पर लिया। A ने 40 बोरी 6 माह, B ने 30 बोरी 8 माह और C ने 50 बोरी 3 माह रखीं। किराया उपयोग के अनुपात में बांटें तो हर एक कितना देगा?

हल: अनुपात = (40*6):(30*8):(50*3) = 240:240:150 = 8:8:5। कुल 21 यूनिट = ₹18,900 ⇒ 1 यूनिट = ₹900। A = ₹7,200, B = ₹7,200, C = ₹4,500। जांच: योग = ₹18,900।

महत्वपूर्ण तथ्य (Quick Revision)

• अनुपात (Ratio) दो समान राशियों की भाग से तुलना है, जिसका कोई मात्रक नहीं होता।
• समानुपात में चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है (a*d = b*c)।
• दो संख्याओं a और b का मध्यानुपाती √(a*b) व तृतीयानुपाती b²/a होता है।
• तीन संख्याओं a, b, c का चतुर्थानुपाती (b*c)/a होता है।
• सरल साझेदारी में लाभ का अनुपात सीधे लगाई पूंजी के अनुपात में होता है (C₁:C₂:C₃)।
• मिश्रित साझेदारी में लाभ पूंजी और समय के गुणनफल (C*T) के अनुपात में तय होता है।
• सक्रिय साझीदार को प्रबंधन वेतन पहले मिलता है, शेष लाभ पूंजी अनुपात में बंटता है।
• थैले में सिक्कों वाले प्रश्नों में पहले सिक्कों को रुपये में बदलकर कुल मूल्य समीकरण बनाते हैं।
• आय-व्यय सवालों में आय = व्यय + बचत; आय की 1 यूनिट x = (d*S₁ - c*S₂) / (a*d - b*c)।
• मिश्रण में केवल एक अवयव मिलाने पर स्थिर अवयव को बराबर मानकर सवाल हल करते हैं।
• अनुपात के पदों को किसी अशून्य संख्या से गुणा या भाग करने पर मान नहीं बदलता।
• अनुपातों a:b और c:d का मिश्र अनुपात (a*c):(b*d) होता है।

RAS Prelims MCQ

1. यदि A:B = 2:3 और B:C = 4:5 हो, तो A:B:C क्या होगा?
   A) 8:12:15
   B) 2:4:5
   C) 6:9:15
   D) 8:15:12
   उत्तर: A) 8:12:15
   कारण: A:B:C = (2*4):(3*4):(3*5) = 8:12:15।
2. 4 और 16 का मध्यानुपाती क्या होगा?
   A) 10
   B) 8
   C) 64
   D) 12
   उत्तर: B) 8
   कारण: मध्यानुपाती = √(4*16) = 8।
3. 9 और 15 का तृतीयानुपाती क्या होगा?
   A) 25
   B) 20
   C) 22.5
   D) 30
   उत्तर: A) 25
   कारण: तृतीयानुपाती = 15²/9 = 25।
4. 6, 8 और 15 का चतुर्थानुपाती क्या होगा?
   A) 18
   B) 20
   C) 24
   D) 25
   उत्तर: B) 20
   कारण: चतुर्थानुपाती = (8*15)/6 = 20।
5. A और B ने एक ही समय के लिए ₹20,000 और ₹30,000 लगाए। ₹25,000 लाभ में A का हिस्सा क्या होगा?
   A) ₹15,000
   B) ₹12,500
   C) ₹10,000
   D) ₹8,000
   उत्तर: C) ₹10,000
   कारण: समय बराबर है, तो पूंजी अनुपात 2:3 से A = 25,000*(2/5) = ₹10,000।
6. थैले में 1 रु, 50 पैसे, 25 पैसे सिक्के 1:2:4 में हैं। कुल धन ₹120 हो, तो 50 पैसे के सिक्के बताएं।
   A) 40
   B) 80
   C) 120
   D) 160
   उत्तर: B) 80
   कारण: 1k + 2k*0.5 + 4k*0.25 = 3k = 120 ⇒ k = 40, तो 50 पैसे के सिक्के = 2k = 80।
7. A ने ₹40,000 लगाए। 4 माह बाद B ₹60,000 लेकर आया। वर्ष के अंत में लाभ का अनुपात क्या होगा?
   A) 1:1
   B) 2:3
   C) 4:3
   D) 3:2
   उत्तर: A) 1:1
   कारण: लाभ अनुपात = (40,000*12):(60,000*8) = 1:1।
8. A और B की आय 3:2 और व्यय 5:3 है। प्रत्येक ₹2,000 बचाता है, तो A की आय क्या होगी?
   A) ₹8,000
   B) ₹10,000
   C) ₹12,000
   D) ₹15,000
   उत्तर: C) ₹12,000
   कारण: (3x-2000)/(2x-2000) = 5/3 ⇒ 9x - 6000 = 10x - 10000 ⇒ x = 4000, तो A की आय = 3*4000 = ₹12,000 (जांच: व्यय 10,000 : 6,000 = 5:3)।
9. यदि a:b = c:d हो, तो (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) को क्या कहते हैं?
   A) एकांतरानुपात नियम
   B) योगानुपात-अंतरानुपात नियम (Componendo & Dividendo)
   C) व्युत्क्रमानुपात नियम
   D) गुणनफल नियम
   उत्तर: B) योगानुपात-अंतरानुपात नियम (Componendo & Dividendo)
   कारण: ऊपर (a+b) और नीचे (a-b) लेकर अनुपात बनाना योगानुपात-अंतरानुपात कहलाता है।
10. सक्रिय साझीदार को वेतन देने के बाद शेष लाभ किस आधार पर बांटा जाता है?
    A) बराबर-बराबर
    B) आयु अनुपात में
    C) पूंजी-समय गुणनफल अनुपात में
    D) केवल सक्रियता पर
    उत्तर: C) पूंजी-समय गुणनफल अनुपात में
    कारण: वेतन बाद बचा लाभ प्रभावी पूंजी (C*T) अनुपात में बंटता है।

RAS Mains Questions

Exam के लिए Important Questions नीचे दिए गए हैं:

Short Questions (2–3 marks)

1. सतत समानुपात क्या है? इसके सूत्र लिखिए।
   उत्तर रूपरेखा: a:b::b:c होने पर राशियां सतत समानुपात में होती हैं। इसमें मध्यानुपाती b = √(a*c) और तृतीयानुपाती c = b²/a होता है।
2. सक्रिय साझीदार की भूमिका और लाभ विभाजन बताइए।
   उत्तर रूपरेखा: सक्रिय साझीदार प्रबंधन देखता है, जिसे तय वेतन पहले मिलता है। शेष लाभ सभी में पूंजी-समय (C*T) अनुपात में बंटता है।

Long Questions (5–10 marks)

1. सरल व मिश्रित साझेदारी का अंतर बताते हुए समझाइए कि पूंजी बदलाव पर लाभ बंटवारा कैसे होता है? (10 marks)
   उत्तर रूपरेखा:
   - सरल साझा: समान समय में लाभ पूंजी अनुपात (C₁:C₂:C₃) में बंटता है।
   - मिश्रित साझा: भिन्न समय में लाभ पूंजी-समय गुणनफल (C₁*T₁:C₂*T₂:C₃*T₃) अनुपात में बंटता है।
   - पूंजी बदलाव: माह-तुल्य पूंजी = (आरंभिक पूंजी*माह) + (नई पूंजी*शेष माह)।
   - उदाहरण: 6 माह ₹50,000 व अगले 6 माह ₹60,000 पर तुल्य पूंजी ₹6,60,000 होगी।
   - शर्त: यह नियम तभी, जब साझेदारी में लाभ बांटने की कोई अलग शर्त (जैसे वेतन या तय हिस्सा) न दी हो।
2. सिक्कों और आय-व्यय वाले सवाल हल करने के तरीकों की तुलना कीजिए। (10 marks)
   उत्तर रूपरेखा:
   - सिक्कों के सवाल: संख्या (k में) को सिक्के के रुपये मूल्य (50 पैसे = 1/2 रु) से गुणा करें, कुल धन के बराबर रखकर k निकालें।
   - आय-व्यय सवाल: 'आय = व्यय + बचत' से दो समीकरण बनते हैं; वज्र गुणन ट्रिक इन्हें सीधे हल कर देती है।
   - तुलना: यूनिट मान वाले तरीके से समय बचता है और हिसाब में भूल कम होती है।
   - दोनों में आखिर में जांच करें: कुल धन या दिया गया अनुपात वापस मिलना चाहिए।

FAQs

क्या अनुपात का कोई मात्रक (Unit) होता है?

नहीं, अनुपात दो समान मात्रक वाली राशियों की भाग से तुलना है, इसलिए अनुपात हमेशा मात्रक-रहित (Unit-less) होता है।

मध्यानुपाती और तृतीयानुपाती में क्या मुख्य अंतर है?

मध्यानुपाती दो राशियों का मध्य पद x = √(a*b) होता है, जबकि तृतीयानुपाती तीसरा पद x = b²/a होता है।

यदि किसी साझेदार ने केवल 4 महीने के लिए पूंजी लगाई हो, तो लाभ कैसे तय होगा?

उसकी प्रभावी पूंजी = C*4 होगी। बाकी साझेदारों की (पूंजी * महीने) से इसका अनुपात निकालकर लाभ बांटें।

सिक्कों वाले प्रश्नों में सबसे सामान्य गलती क्या होती है?

सिक्कों की संख्या के अनुपात को सीधे रुपयों का अनुपात मान लेना आम गलती है। पहले हर सिक्के को रुपये में बदलें।

परीक्षा के लिए याद रखें

• A:B = m:n और B:C = p:q हो, तो A:B:C = mp : np : nq।
• समानुपात a:b::c:d में a*d = b*c।
• मध्यानुपाती √(a*b), तृतीयानुपाती b²/a, चतुर्थानुपाती (b*c)/a।
• साझेदारी में लाभ (पूंजी * समय) के अनुपात में; बीच में पूंजी बदले तो हर अवधि का (पूंजी * महीने) जोड़ें।
• सक्रिय साझीदार का वेतन पहले घटाएं, फिर बचा लाभ बांटें।
• मिश्रण में केवल पानी मिलाने पर दूध की मात्रा वही रहती है।
• सिक्कों के सवाल में पहले हर सिक्के को रुपये में बदलें।