Number System, LCM HCF in Hindi: संख्या पद्धति, विभाज्यता के नियम और हल सवाल

Quick Answer: Number System और LCM HCF in Hindi: संख्या पद्धति और LCM-HCF (Number System, LCM and HCF) basic numeracy का पहला chapter है। HCF (महत्तम समापवर्तक) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूरा-पूरा बांट दे। LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी कट जाए। सिर्फ दो संख्याओं a और b के लिए HCF × LCM = a × b होता है; तीन या ज्यादा संख्याओं पर यह नियम लागू नहीं होता। RAS Pre 2016 (Q114) में घातों के गुणनफल का अंतिम अंक (unit digit) पूछा गया था।

संख्याओं का वर्गीकरण और आधारभूत समझ (Classification of Numbers)

संख्या पद्धति (Number System) गणित की पहली सीढ़ी है। सवाल हल करने से पहले यह पहचानना जरूरी है कि दी गई संख्या किस प्रकार की है।

1. प्राकृत, पूर्ण और पूर्णांक संख्याएं (Natural, Whole & Integers)

• प्राकृत संख्याएं (Natural Numbers - N): गिनती की संख्याएं N = {1, 2, 3, 4, ...}। सबसे छोटी प्राकृत संख्या 1 है।
• पूर्ण संख्याएं (Whole Numbers - W): शून्य को मिलाकर बनने वाला समूह W = {0, 1, 2, 3, ...}। सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 है।
• पूर्णांक (Integers - Z): सभी ऋणात्मक, शून्य व धनात्मक मान Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}। शून्य न धनात्मक है न ऋणात्मक।

2. परिमेय और अपरिमेय संख्याएं (Rational & Irrational Numbers)

• परिमेय संख्याएं (Rational Numbers): जिन्हें p/q रूप में लिखा जा सके (p, q पूर्णांक, q ≠ 0)। दशमलव शांत या आवर्ती होता है (जैसे 3/4, 22/7)।
• अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers): जिन्हें p/q रूप में न लिखा जा सके। दशमलव अशांत अनावर्ती होता है (जैसे √2, π)। π अपरिमेय है, 22/7 परिमेय है।

3. अभाज्य और भाज्य संख्याएं (Prime & Composite Numbers)

• अभाज्य संख्याएं (Prime Numbers): 1 से बड़ी, ठीक 2 गुणनखंड (1 और खुद) वाली संख्याएं (2, 3, 5, 7, 11, 13...)। 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। 1 से 100 तक कुल 25 अभाज्य संख्याएं हैं।
• भाज्य संख्याएं (Composite Numbers): 2 से अधिक गुणनखंड वाली संख्याएं (4, 6, 8, 9...)। 4 सबसे छोटी भाज्य संख्या है। 1 न अभाज्य है न भाज्य।
• सह-अभाज्य (Co-Prime): जिन दो संख्याओं का HCF 1 हो, जैसे (8, 15)। दोनों का खुद अभाज्य होना जरूरी नहीं।

HCF और LCM के मूल नियम और विधियां (Core Rules & Methods)

HCF और LCM निकालने का सबसे भरोसेमंद तरीका अभाज्य गुणनखंड (prime factorization) है।

1. अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method)

• HCF: उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात का गुणनफल।
• LCM: प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की अधिकतम घात का गुणनफल।

72 = 2³ × 3²
120 = 2³ × 3¹ × 5¹
HCF = 2³ × 3¹ = 24
LCM = 2³ × 3² × 5¹ = 360

2. दो संख्याओं का संबंध और भिन्नों के सूत्र

दो धनात्मक संख्याओं a और b के लिए गुणनफल का नियम (सिर्फ दो संख्याओं पर लागू। जैसे 2, 4, 6 का HCF 2 और LCM 12, तो HCF × LCM = 24, जबकि 2 × 4 × 6 = 48):

HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b

भिन्नों के सूत्र (पहले हर भिन्न को सरलतम रूप में लाएं):

भिन्नों का LCM = (अंशों का LCM) / (हरों का HCF)
भिन्नों का HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)

विभाज्यता के नियम और shortcut परीक्षण (Divisibility Rules)

• 2 से: अंतिम अंक सम (0, 2, 4, 6, 8) हो।
• 3 से: अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।
• 4 से: अंतिम 2 अंकों की संख्या 4 से कटे या अंत में 00 हो।
• 5 से: अंतिम अंक 0 या 5 हो।
• 6 से: संख्या 2 और 3 दोनों से कटे।
• 8 से: अंतिम 3 अंकों की संख्या 8 से कटे।
• 9 से: अंकों का कुल योग 9 से विभाज्य हो।
• 11 से: दाईं ओर से विषम स्थानों (1st, 3rd, 5th...) के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।

शेषफल आधारित प्रश्न प्रारूप (Remainder Models in LCM-HCF)

• प्रारूप 1 (समान शेष r): x, y, z से भाग देने पर हर बार r शेष बचे (r सबसे छोटे भाजक से कम) ⇒ ऐसी संख्याएं = LCM(x, y, z) × k + r। r से बड़ी सबसे छोटी ऐसी संख्या = LCM + r। (r खुद भी यह शर्त पूरी करता है, इसलिए सवाल में 'दो-अंकीय/चार-अंकीय' जैसी शर्त देखें।)
• प्रारूप 2 (समान अंतर d): शेषफल अलग-अलग हों पर हर भाजक और उसके शेष का अंतर d एक जैसा हो ⇒ न्यूनतम धनात्मक संख्या = LCM(x, y, z) - d।
• प्रारूप 3 (चक्रीय घटनाएं): t1, t2, t3 अंतरालों पर बजने वाली घंटियां एक साथ शुरू हों, तो अगली बार एक साथ LCM(t1, t2, t3) बाद बजेंगी।
• प्रारूप 4 (बड़ी से बड़ी संख्या, समान शेष): a, b, c को भाग देकर समान शेष छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या = HCF(b - a, c - b, c - a)।

अंतिम अंक (Unit Digit) और घातों की चक्रीयता (Cyclicity)

बड़ी घातों का अंतिम अंक चक्रीयता से तय होता है:

• स्थिर अंक (0, 1, 5, 6): किसी भी घात पर अंतिम अंक हमेशा वही (0, 1, 5, 6) रहता है।
• चक्रीयता 2 (4 और 9): 4 की विषम घात पर 4, सम पर 6। 9 की विषम घात पर 9, सम पर 1।
• चक्रीयता 4 (2, 3, 7, 8): घात को 4 से भाग दें। शेष 1, 2, 3 हो तो वही घात लें; शेष 0 हो तो घात 4 लें (घात 1 या उससे बड़ी हो)। जैसे 2 का चक्र 2, 4, 8, 6 और 3 का 3, 9, 7, 1।

शून्यों की संख्या ज्ञात करना (Trailing Zeroes in Factorials)

n! के अंत में शून्य 10 = 2 × 5 के जोड़ों से बनते हैं। 2 के गुणनखंड हमेशा 5 से ज्यादा होते हैं, इसलिए सिर्फ 5 के गुणनखंड गिनते हैं:

n! में शून्य = [n/5] + [n/25] + [n/125] + ...

संख्या पद्धति सूत्र सारांश सारणी

नियमों और सूत्रों की त्वरित तालिकाएं:

तालिका 1: विभाज्यता के प्रमुख नियम

तालिका 2: LCM-HCF के प्रमुख सूत्र

हल उदाहरण (Solved Practice Examples)

आसान से RPSC स्तर तक 8 हल उदाहरण:

उदाहरण 1: भिन्नों का LCM और HCF

प्रश्न: 3/5, 9/10 और 6/25 का LCM और HCF निकालिए।

हल: तीनों भिन्न सरलतम रूप में हैं।

1. अंशों (3, 9, 6) का LCM = 18 और HCF = 3
2. हरों (5, 10, 25) का LCM = 50 और HCF = 5
3. भिन्नों का LCM = 18 / 5
4. भिन्नों का HCF = 3 / 50
5. जांच: 18/5 को 3/5, 9/10, 6/25 से भाग देने पर 6, 4, 15 (पूर्ण संख्याएं) मिलती हैं; और 3/5, 9/10, 6/25 को 3/50 से भाग देने पर 10, 15, 4 मिलते हैं।

उदाहरण 2: दो संख्याओं का संबंध

प्रश्न: दो संख्याओं का HCF 16 और गुणनफल 3072 है। उनमें से एक संख्या 48 है। LCM और दूसरी संख्या निकालिए।

हल:

1. 16 × LCM = 3072 ⇒ LCM = 3072 / 16 = 192
2. दूसरी संख्या (b) = 3072 / 48 = 64
3. जांच: HCF(48, 64) = 16 और LCM(48, 64) = 192। सही है।

उदाहरण 3: घंटियों का एक साथ बजना

प्रश्न: चार घंटियां एक साथ बजना शुरू करती हैं और फिर 6, 8, 12 और 18 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। 1 घंटे (3600 सेकंड) में, शुरुआत वाली बार को मिलाकर, वे कुल कितनी बार एक साथ बजेंगी?

हल:

1. अंतराल = LCM(6, 8, 12, 18) = 72 सेकंड।
2. शुरुआत के बाद 1 घंटे में = 3600 / 72 = 50 बार।
3. शुरुआती बार को जोड़कर कुल = 50 + 1 = 51 बार। (अगर सवाल 'शुरुआत के बाद' पूछे, तो उत्तर 50 होगा।)

उदाहरण 4: न्यूनतम 4-अंकीय संख्या (समान शेष)

प्रश्न: 12, 15, 20 और 24 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 7 शेषफल देने वाली सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या निकालें।

हल:

1. LCM(12, 15, 20, 24) = 120।
2. 1000 ÷ 120 = 8 (शेष 40)। 120 का 1000 से बड़ा पहला गुणज = 1080 (पिछला गुणज 960 + 7 = 967 तीन अंकों का है)।
3. संख्या = 1080 + 7 = 1087।

उदाहरण 5: अलग-अलग शेषफल और समान अंतर

प्रश्न: वह सबसे छोटी संख्या निकालिए जिसे 15, 18 और 24 से भाग देने पर शेष क्रमशः 9, 12 और 18 बचें।

हल:

1. समान अंतर d = 15-9 = 18-12 = 24-18 = 6।
2. LCM(15, 18, 24) = 2³ × 3² × 5 = 360।
3. संख्या = LCM - d = 360 - 6 = 354।
4. जांच: 354 = 15 × 23 + 9 = 18 × 19 + 12 = 24 × 14 + 18। सही है।

उदाहरण 6: समान शेष देने वाली बड़ी संख्या

प्रश्न: वह सबसे बड़ी संख्या निकालिए जिससे 125, 173 और 293 को भाग देने पर हर बार एक जैसा शेष बचे।

हल:

1. संख्याओं के अंतर: 173-125 = 48, 293-173 = 120, 293-125 = 168।
2. HCF(48, 120, 168) = 24। (जांच: 125, 173, 293 को 24 से भाग देने पर हर बार शेष 5 बचता है)।

उदाहरण 7: बड़े व्यंजक का अंतिम अंक

प्रश्न: व्यंजक (7⁹⁵ - 3⁵⁸) का अंतिम अंक क्या होगा?

हल:

1. 7⁹⁵: 95 ÷ 4 में शेष 3 ⇒ 7³ का अंतिम अंक = 3।
2. 3⁵⁸: 58 ÷ 4 में शेष 2 ⇒ 3² का अंतिम अंक = 9।
3. 7⁹⁵ बड़ी संख्या है, इसलिए घटाने पर: 3 - 9 के लिए दहाई से 1 उधार लें, 13 - 9 = 4।

इसलिए अंतिम अंक 4 होगा।

उदाहरण 8: 11 से विभाज्यता में अज्ञात अंक

प्रश्न: यदि 543x382 संख्या 11 से विभाज्य है, तो x का मान क्या है?

हल:

1. दाईं ओर से विषम स्थानों का योग: 2 + 3 + 3 + 5 = 13
2. दाईं ओर से सम स्थानों का योग: 8 + x + 4 = 12 + x
3. अंतर (12 + x) - 13 = x - 1 को 0 या 11 का गुणज होना है। x एक अंक (0-9) है, इसलिए x - 1 = 0 ⇒ x = 1

इसलिए अज्ञात अंक x = 1 है (5431382 = 11 × 493762)।

महत्वपूर्ण तथ्य (Quick Revision)

परीक्षा के लिए 11 मुख्य बिंदु:

• सम अभाज्य: संख्या 2 सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
• संख्या 1: 1 न तो अभाज्य संख्या है और न भाज्य संख्या।
• अभाज्य संख्याएं: 1 से 50 तक 15 और 1 से 100 तक 25 अभाज्य संख्याएं हैं।
• पाई: पाई (π) अपरिमेय है, जबकि 22/7 परिमेय संख्या है।
• दो संख्याओं का नियम: HCF × LCM = a × b केवल दो संख्याओं पर लागू होता है।
• सह-अभाज्य: सह-अभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है।
• भिन्नों का LCM: अंशों का LCM बटे हरों का HCF (भिन्न सरलतम रूप में हों)।
• स्थिर अंतिम अंक: 0, 1, 5, 6 की किसी भी घात का अंतिम अंक नहीं बदलता।
• चक्रीयता: 2, 3, 7, 8 के अंतिम अंक की चक्रीयता 4 है; 4 और 9 की 2।
• घंटियों का बजना: एक साथ होने वाली घटनाओं का समय अंतरालों का LCM होता है।
• शून्यों की संख्या: फैक्टोरियल में शून्य 5 के कुल गुणनखंडों से तय होते हैं।

RAS Prelims MCQ

1. भिन्न 3/4, 6/7 और 9/8 का LCM क्या होगा?
   A) 18
   B) 18/28
   C) 9/56
   D) 3/56
   उत्तर: A) 18
   कारण: अंशों का LCM 18 और हरों का HCF 1 है, अतः 18/1 = 18।
2. दो संख्याओं का अनुपात 3:4 और HCF 5 है। उनका LCM क्या होगा?
   A) 45
   B) 60
   C) 75
   D) 120
   उत्तर: B) 60
   कारण: संख्याएं 15 और 20 हैं, जिनका LCM 60 है।
3. 12, 16 और 24 से भाग देने पर हर बार 3 शेष देने वाली सबसे छोटी दो-अंकीय संख्या क्या है?
   A) 48
   B) 51
   C) 99
   D) 45
   उत्तर: B) 51
   कारण: ऐसी संख्याएं 48k + 3 हैं (3, 51, 99, ...); सबसे छोटी दो-अंकीय 48 + 3 = 51। 99 भी शर्त पूरी करती है पर बड़ी है।
4. संख्या (3⁶⁷ × 6³⁸ × 7⁵³) के गुणनफल में अंतिम अंक (Unit Digit) क्या होगा?
   A) 2
   B) 4
   C) 6
   D) 8
   उत्तर: B) 4
   कारण: 3⁶⁷ का अंतिम अंक 7, 6³⁸ का 6, 7⁵³ का 7; 7 × 6 × 7 = 294 का अंतिम अंक 4 है।
5. यदि संख्या 476x52 संख्या 9 से पूर्ण विभाज्य है, तो x का मान क्या होगा?
   A) 1
   B) 3
   C) 5
   D) 7
   उत्तर: B) 3
   कारण: अंकों का योग 24 + x है; 9 से कटने के लिए 24 + 3 = 27 बनता है।
6. 1 से 100 तक कुल कितनी अभाज्य संख्याएं हैं?
   A) 21
   B) 23
   C) 25
   D) 27
   उत्तर: C) 25
   कारण: 1 से 50 तक 15 और 51 से 100 तक 10 मिलाकर कुल 25 अभाज्य संख्याएं हैं।
7. तीन धावक 12 किमी लंबे वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से, एक ही दिशा में, एक साथ 3, 4 और 6 किमी/घंटा से दौड़ना शुरू करते हैं। कितने घंटे बाद तीनों पहली बार शुरुआती बिंदु पर एक साथ होंगे?
   A) 6 घंटे
   B) 8 घंटे
   C) 12 घंटे
   D) 24 घंटे
   उत्तर: C) 12 घंटे
   कारण: एक चक्कर का समय 12/3 = 4, 12/4 = 3, 12/6 = 2 घंटे; LCM(4, 3, 2) = 12 घंटे।
8. 50! के अंत में शून्यों की कुल संख्या क्या होगी?
   A) 10
   B) 12
   C) 14
   D) 15
   उत्तर: B) 12
   कारण: [50/5] + [50/25] = 12 शून्य।
9. यदि संख्या 85x43 संख्या 11 से विभाज्य है, तो x का मान क्या होगा?
   A) 2
   B) 5
   C) 7
   D) 9
   उत्तर: D) 9
   कारण: दाईं ओर से विषम स्थानों का योग 3 + x + 8 = 11 + x, सम स्थानों का 4 + 5 = 9; अंतर 2 + x को 0 या 11 का गुणज होना है ⇒ x = 9 (85943 = 11 × 7813)।
10. दो धनात्मक संख्याओं का योग 360 और HCF 24 है। ऐसे कितने जोड़े संभव हैं?
    A) 1
    B) 2
    C) 3
    D) 4
    उत्तर: D) 4
    कारण: संख्याएं 24a और 24b, जहां a, b सह-अभाज्य; 24(a + b) = 360 ⇒ a + b = 15। सह-अभाज्य जोड़े (1, 14), (2, 13), (4, 11), (7, 8) = 4 जोड़े ((3, 12), (5, 10), (6, 9) सह-अभाज्य नहीं)।

RAS Mains Questions

Exam के लिए Important Questions नीचे दिए गए हैं:

Short Questions (2–3 marks)

1. सह-अभाज्य संख्याएं (Co-Prime Numbers) किसे कहते हैं? उदाहरण देकर समझाइए।
   उत्तर रूपरेखा: जिन दो संख्याओं का HCF 1 हो, उन्हें सह-अभाज्य कहते हैं (जैसे 8 और 15)। इनका खुद अभाज्य होना जरूरी नहीं है।
2. भिन्नों के ल.स. और म.स. निकालने के सूत्र लिखिए।
   उत्तर रूपरेखा: भिन्नों का LCM = (अंशों का LCM) / (हरों का HCF) और भिन्नों का HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)। हल करने से पहले भिन्नों को सरलतम रूप में लाना चाहिए।

Long Questions (5–10 marks)

1. घंटियों के बजने और वृत्ताकार पथ की समस्याओं में LCM की संकल्पना किस प्रकार काम करती है? प्रशासनिक उपयोग समझाइए। (10 marks)
   उत्तर रूपरेखा:
   - चक्रीय अंतरालों का न्यूनतम उभयनिष्ठ समय निकालना।
   - गणितीय आधार: अंतरालों का LCM ही पहला साझा बिंदु होता है।
   - यातायात व्यवस्था में सिग्नलों के तालमेल में उपयोग।
   - आपदा प्रबंधन और गश्ती दलों की समय-सारणी के समन्वय में सहायक।
2. विभाज्यता के नियम बड़े सवालों को तेजी से हल करने में कैसे सहायक हैं? 7 और 11 के नियम उदाहरण देकर समझाइए। (10 marks)
   उत्तर रूपरेखा:
   - बिना लंबा भाग दिए बड़ी संख्याओं का तुरंत परीक्षण और समय की बचत।
   - 7 का नियम: अंतिम अंक का दोगुना बाकी संख्या से घटाएं; नतीजा 0 या 7 का गुणज हो तो संख्या 7 से कटेगी (343 ⇒ 34 - 6 = 28 = 7 × 4)।
   - 11 का नियम: एकांतर स्थानों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज होना (1331 ⇒ 4 - 4 = 0)।
   - प्रशासनिक फाइलों और सांख्यिकी के त्वरित परीक्षण में उपयोगी।

FAQs

क्या दो संख्याओं का LCM उनके HCF से छोटा हो सकता है?

नहीं, धनात्मक पूर्णांकों का LCM हमेशा उनके HCF के बराबर या उससे बड़ा होता है। HCF हमेशा LCM को पूरा-पूरा बांटता है।

संख्या 0 सम है या विषम?

संख्या 0 एक सम पूर्णांक है क्योंकि यह 2 से पूरी कटती है (0 ÷ 2 = 0, शेष 0)।

अभाज्य संख्या की पहचान का सरल नियम क्या है?

संख्या n के वर्गमूल (√n) तक की सभी अभाज्य संख्याओं से भाग देकर देखें। कोई भी पूरा न बांटे तो n अभाज्य है। जैसे 97 के लिए √97 ≈ 9.8, तो 2, 3, 5, 7 से जांचें; कोई नहीं कटता, इसलिए 97 अभाज्य है।

फैक्टोरियल में शून्य निकालते समय 2 की घातें क्यों नहीं गिनते?

फैक्टोरियल में 2 की घातें 5 से ज्यादा होती हैं। शून्य 2 और 5 के जोड़े से बनता है, इसलिए कम संख्या वाले गुणनखंड (5) को गिनते हैं।

परीक्षा के लिए याद रखें

• HCF × LCM = a × b सिर्फ दो संख्याओं पर लागू होता है।
• भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF; HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM।
• समान शेष r: LCM × k + r; समान अंतर d: LCM - d।
• a, b, c में समान शेष छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या = उनके अंतरों का HCF।
• 11 की जांच: एकांतर अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज।
• अंतिम अंक (unit digit): 0, 1, 5, 6 स्थिर; 4, 9 का चक्र 2; 2, 3, 7, 8 का चक्र 4।
• n! में शून्य = [n/5] + [n/25] + [n/125] + ...